[이론] Wiener filter 설명, wiener filter 수식 유도 자세히

CV 공부

먼저 흐름을 파악하려면 이 글들을 참고하는 것이 좋다.

https://minsunstudio.tistory.com/103

[CV] Image degradation 직접 구현 -① (Blur, Periodic Noise, Low Contrast)

https://minsunstudio.tistory.com/104

[CV] Image Processing 개념 총정리! / Image degradation 직접 구현 -②③ (Blur, Periodic Noise, Low Contrast)

https://minsunstudio.tistory.com/105

[CV] FFT란 Fast Fourier Transform

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Weiner filter 수식 유도 설명

spatial domain & frequency domain 관점에서 수식 설명을 한다.

 

수식은 MSE를 최소화 하는 것에서 시작하며,

orthoginality condition 유도과정이 포함된다.

 

orthogonality condition (직교 조건) → Wiener–Hopf equation (공간 도메인) → 주파수 도메인 G=Suv/SvvG = S_{uv}/S_{vv}G=Suv​/Svv​
이 세 단계를 연결하는 과정

 

 

Wiener filter는 영상이나 신호를 확률적(random process) 으로 보고
그들의 통계적 상관 관계(correlation) 와 스펙트럼(spectrum) 을 이용해 최적 필터를 구한다.

여기서 등장하는 게 바로 S, 즉 Power Spectral Density (PSD, 전력 스펙트럼 밀도) 이다.

Wiener filter는 “확률적 최적”을 찾기 때문에
u,vu, vu,v 를 확률변수(random variables)로 보고,
평균제곱오차가 최소가 되는 조건을 통계적으로 계산한다.

 

영상이 노이즈와 블러로 열화된 상황을 다음과 같이 모델링합니다:

\(v(m,n)=h(m,n)∗u(m,n)+η(m,n)v(m,n) = h(m,n) * u(m,n) + \eta(m,n)v(m,n)=h(m,n)∗u(m,n)+η(m,n)\)

• u(m,n): 원본(ideal) 영상
• v(m,n): 관측된 degraded 영상
• h: 블러링 시스템(impulse response)
• η: 노이즈

목표는 v로부터 u를 최대한 정확하게 복원하는 필터 g를 찾는 것.

 

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Inverse Filter & Wiener Filtering (역필터링 & 위너 필터링)

영상 복원에서 가장 중요한 기법들.

• Inverse filter (역필터)
  • 간단히 말하면, 영상에 가해진 흐림(시스템 응답)을 역으로 제거하려는 방법.
  • 문제: 노이즈가 있을 경우 제대로 작동하지 않음 → 불안정.
• Pseudo-inverse filter (의사역필터)
  • 역필터를 직접 적용하기 어려운 경우 근사적으로 사용.
  • 하지만 여전히 잡음에 취약.
• Wiener filter (위너 필터)
  • 노이즈와 신호의 통계적 특성을 고려해서 잡음을 최소화하는 방식.
  • 신호 스펙트럼과 노이즈 스펙트럼의 비율을 사용해 복원함.
  • 장점: 잡음이 존재해도 안정적으로 원본에 가까운 영상을 복원 가능.